01Gancho
Tu rueda pasa de 0 a 200 rpm en 0.5 s. ¿Qué aceleración angular es? Y si el robot toma una curva de 0.5 m de radio a 0.6 m/s, ¿qué aceleración centrípeta sufre?
02Concepto
Cuando la velocidad angular cambia, la rueda tiene aceleración angular α: el cambio de velocidad angular Δω dividido entre el intervalo Δt en que ocurre, α = Δω/Δt. Se mide en rad/s².
Es el paralelo exacto del movimiento uniformemente acelerado. Con α constante, la velocidad angular crece lo mismo en cada segundo: ω = ω₀ + α·t, igual que v = v₀ + a·t en Movimiento uniformemente acelerado.
Con los datos del gancho, 200 rpm son 20.94 rad/s. Si la rueda llega desde el reposo en 0.5 s, α = 20.94/0.5 = 41.89 rad/s².
Un punto del borde, a la distancia r del centro, acelera a lo largo de su trayectoria. Esa es la aceleración tangencial, a_t = α·r. Con r = 0.032 m, a_t = 41.89·0.032 = 1.34 m/s². Si la rueda no desliza, es también la aceleración con la que avanza el robot.
En una curva, aunque la rapidez sea constante, la velocidad cambia de dirección. Ese cambio es una aceleración que apunta hacia el centro de la curva: la aceleración centrípeta, a_c = v²/R, con R el radio de giro. Como el robot recorre la curva con v = ω·R, también a_c = ω²·R. Con los datos del gancho, a_c = 0.6²/0.5 = 0.72 m/s².
Esa aceleración la provee la fricción entre las ruedas y el suelo. La fricción estática tiene un máximo, μₛ·m·g; dividido entre la masa, la mayor aceleración centrípeta posible es μₛ·g. Igualando v²/R = μₛ·g sale la rapidez máxima en curva sin patinar, v_max,curva = √(μₛ·g·R). Por encima de ella, el robot derrapa hacia fuera de la curva.
La aceleración angular de tu rueda tampoco es ilimitada: el perfil de «Mi robot» la guarda como la rampa de aceleración que usa el simulador al arrancar.
03Fórmulas
α· aceleración angular · rad/s²Δω· cambio de velocidad angular · rad/sΔt· intervalo de tiempo · s
ω· velocidad angular · rad/sω₀· velocidad angular inicial · rad/sα· aceleración angular · rad/s²t· tiempo · s
a_t· aceleración tangencial · m/s²α· aceleración angular · rad/s²r· radio de rueda · m
a_c· aceleración centrípeta · m/s²v· rapidez · m/sω· velocidad angular · rad/sR· radio de giro · m
v_max,curva· rapidez máxima en curva sin patinar · m/sμₛ· coeficiente de fricción estática · —g· aceleración gravitatoria · m/s²R· radio de giro · m
04Explora
La rueda arranca desde el reposo con la aceleración angular que eliges. El panel muestra ω, la aceleración tangencial del borde y el tiempo que tarda en llegar a 200 rpm. El panel de curva calcula la aceleración centrípeta y la velocidad máxima sin patinar para el radio, la velocidad y el coeficiente de fricción que elijas.
Cambiael tiempo: reinicia y reproduce 0.5 sObservala velocidad angular ω
¿Por qué llega a 20.9 rad/s?
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Con α constante desde el reposo, ω = α·t = 41.89·0.5 = 20.94 rad/s. Son justo los 200 rpm del gancho.
Cambiaα de 41.89 rad/s² a 83.78 rad/s²Observael tiempo hasta 200 rpm
¿Por qué se reduce a la mitad?
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El tiempo para ganar Δω es Δt = Δω/α. Con el mismo Δω de 20.94 rad/s y el doble de α, tarda la mitad: 0.25 s en lugar de 0.5 s.
Cambiaen el panel de curva, reproduce y reduce el radio R de 0.5 m a 0.25 m, con la misma vObservala flecha a_c de la vista de la curva y su valor
¿Por qué la flecha y a_c se duplican?
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En a_c = v²/R, con v fija, a_c es inversamente proporcional a R. La mitad de radio da el doble de aceleración: de 0.72 m/s² a 1.44 m/s². La flecha de la vista se dibuja proporcional a a_c, así que su longitud también se duplica.
05Al robot
Tu robot no alcanza su velocidad de golpe: el simulador acelera las ruedas con la aceleración angular α de la rampa de tu perfil de «Mi robot». Si tu perfil no la indica, se usa la del robot de referencia, 40 rad/s². Con el radio r de tu rueda, el borde, y el robot entero si la rueda no desliza, acelera a:
Si tu perfil de «Mi robot» no es un robot móvil, los cálculos usan el robot de referencia.
La pista preset tiene una curva cerrada de R = 0.15 m. Con un coeficiente de fricción estática μₛ = 0.6 entre ruedas y suelo, la rapidez máxima sin patinar en esa curva es:
Ese límite no depende de tu robot, solo de la fricción y del radio de la curva. Compáralo con la velocidad lineal máxima de tu robot, la de sus ruedas a ω_max: si es mayor que v_max de tu perfil, no patina. Con los números de tu perfil, v_max = ω_max·r queda así junto al límite de la curva:
Si tu robot supera v_max,curva, tiene que frenar antes de la curva, y la distancia que necesita la calculas como en el movimiento uniformemente acelerado.
06Verifica
E1La rueda de tu robot pasa del reposo a n = 325.0 rpm en t = 1.600 s con aceleración angular constante. ¿Cuál es su aceleración angular α, en rad/s²?obligatorio
E2Tu robot toma una curva de radio R = 0.7800 m a v = 1.200 m/s. ¿Cuál es su aceleración centrípeta a_c, en m/s²?obligatorio
E3La rueda de tu robot, de radio r = 0.04800 m, acelera con α = 55.76 rad/s². ¿Cuál es la aceleración tangencial a_t de un punto del borde, en m/s²?obligatorio
E4Las ruedas de tu robot tienen un coeficiente de fricción estática μₛ = 0.4000 con el suelo. ¿Cuál es la rapidez máxima sin patinar v_max,curva en una curva de radio R = 0.4400 m, en m/s? Usa g = 9.81 m/s².
07Profundiza
- Young, H. D., Freedman, R. A. (con Ford, A. L.). Sears y Zemansky. Física universitaria con física moderna, vol. 1, 14.ª ed. Pearson Educación de México, 2018. ISBN 978-607-32-4439-8 (traducción de University Physics with Modern Physics, 14.ª ed., 2016). Cap. 9, "Rotación de cuerpos rígidos".
- Serway, R. A. y Jewett, J. W. Física para ciencias e ingeniería, vol. 1, 10.ª ed. Cengage, 2019. ISBN 978-607-526-669-5. Cap. 10, "Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo".