01Gancho
Tu motor gira a 6000 rpm, la reducción es 30:1 y la rueda mide 32 mm de radio. ¿A qué velocidad avanza tu robot? Aquí cierras la cadena completa: del motor a la v_max que ya conociste en Vectores.
02Concepto
Una rueda que rueda sin deslizamiento no resbala sobre el suelo: el punto que toca el suelo está, en ese instante, en reposo respecto a él. La rueda gira alrededor de ese punto, y su centro, a la distancia r, avanza con velocidad v = ω·r.
En cada vuelta, la rueda apoya en el suelo todo su perímetro. Sin deslizar, el robot avanza exactamente 2π·r por vuelta. Con r = 0.032 m, son 0.201 m.
Si la rueda da n_rueda vueltas por minuto, el robot avanza n_rueda perímetros por minuto. Entre 60 s: v = 2π·r·n_rueda/60. Es la misma v = ω·r, con ω = n_rueda·2π/60 de Movimiento circular y velocidad angular.
La rueda no gira a la velocidad del motor. El motorreductor divide la velocidad de giro del motor entre su relación de reducción i: n_rueda = n_motor/i. La cadena completa va del dato de la hoja del motor a la velocidad del robot: n_motor → n_rueda = n_motor/i → ω = n_rueda·2π/60 → v = ω·r.
Con los datos del gancho, la rueda gira a 6000/30 = 200 rpm. Eso son 200·2π/60 = 20.94 rad/s, y el robot avanza a 20.94·0.032 = 0.670 m/s.
La cadena también se recorre al revés. Para que tu robot avance a una velocidad v, cada rueda necesita ω = v/r, y de ahí salen sus rpm: n_rueda = ω·60/(2π). Para 1 m/s con r = 0.032 m, ω = 31.25 rad/s, unas 298 rpm.
Todo lo anterior supone que la rueda no patina. Si patina, por ejemplo al arrancar sobre una superficie lisa, el punto de contacto resbala hacia atrás y el robot avanza menos de un perímetro por vuelta: v < ω·r. La rueda gira igual, pero el robot va más lento de lo que da la fórmula.
03Fórmulas
v· velocidad lineal · m/sω· velocidad angular · rad/sr· radio de rueda · m
v· velocidad lineal · m/sr· radio de rueda · mn_rueda· velocidad de giro de la rueda · rpm (dato de entrada, no SI)
n_rueda· velocidad de giro de la rueda · rpm (dato de entrada, no SI)n_motor· velocidad de giro del motor · rpm (dato de entrada, no SI)i· relación de reducción · —
v· velocidad lineal · m/sr· radio de rueda · mn_motor· velocidad de giro del motor · rpm (dato de entrada, no SI)i· relación de reducción · —
ω· velocidad angular · rad/sv· velocidad lineal · m/sr· radio de rueda · m
04Explora
Una rueda de radio r = 0.032 m rueda sin deslizar a 200 rpm: la rueda del robot de referencia. La traza marca el camino del centro. El panel muestra el avance del centro, las vueltas, ω en rad/s y en rpm y la velocidad del borde, que al rodar sin deslizar es la v del robot.
Cambiael tiempo: reinicia y reproduce una vuelta completa, 0.3 s a 200 rpmObservael avance del centro
¿Por qué avanza 0.201 m?
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Sin deslizar, cada punto del perímetro toca el suelo una vez por vuelta. El centro avanza lo mismo que el perímetro apoyado: 2π·r = 2π·0.032 = 0.201 m.
Cambiar al doble, de 0.032 a 0.064 m, con la misma velocidad de giroObservala velocidad v del robot
¿Por qué v se duplica?
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Con ω fija, v = ω·r es proporcional a r. En el mismo tiempo la rueda da las mismas vueltas, pero cada una apoya el doble de perímetro. v pasa de 0.670 m/s a 1.34 m/s.
Cambiar de vuelta a 0.032 m y fija v = 1 m/s con el control vObservaω en rad/s y en rpm
¿Por qué la rueda necesita 31.25 rad/s?
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El control v fija ω = v/r. Con r = 0.032 m, ω = 1/0.032 = 31.25 rad/s, que son 31.25·60/(2π) = 298 rpm.
05Al robot
Aquí cierras la cadena completa: del motor a la v_max que ya conociste en Vectores. La tarjeta resume tu perfil de «Mi robot», del que salen la velocidad sin carga del motor n_motor, la relación de reducción i y el radio r de la rueda.
Si tu perfil de «Mi robot» no es un robot móvil, el cálculo usa el robot de referencia.
Primero, el motorreductor reduce la velocidad de giro del motor:
Después, la velocidad de giro de la rueda pasa a rad/s. Con el motor sin carga es ω_max, la velocidad angular máxima de la rueda:
Por último, sin deslizamiento, la rueda convierte ω_max en v_max, la velocidad lineal máxima del robot:
Con el robot de referencia, 6000 rpm con i = 30 dejan la rueda a 200 rpm, es decir, 20.94 rad/s, y el robot avanza a v_max = 0.670 m/s. A esa velocidad, una pista recta de 4 m le lleva:
Es el tiempo mínimo: supone todo el trayecto a v_max, sin la rampa de arranque ni el frenado de Movimiento uniformemente acelerado. Si cambias el motor, la reducción o el radio de la rueda en tu perfil, las cuatro fórmulas se recalculan con tus datos.
06Verifica
E1La rueda de tu robot gira a ω = 39.91 rad/s y mide r = 0.03100 m de radio. Sin deslizamiento, ¿a qué velocidad avanza tu robot, en m/s?obligatorio
E2Quieres que tu robot avance a v = 0.5900 m/s con ruedas de r = 0.01800 m de radio. ¿Qué velocidad angular ω necesita cada rueda, en rad/s, y cuál es su velocidad de giro n_rueda, en rpm?obligatorio
E3El motor de tu robot gira a n_motor = 2825 rpm, la reducción es i = 42.00 y la rueda mide r = 0.02100 m de radio. Sin deslizamiento, ¿a qué velocidad avanza tu robot, en m/s?obligatorio
E4El motor de tu robot gira a n_motor = 3278 rpm, la reducción es i = 90.00 y la rueda mide r = 0.04600 m de radio. A esa velocidad constante, ¿cuánto tarda en recorrer una pista recta de 4 m, en s?
07Profundiza
- Young, H. D., Freedman, R. A. (con Ford, A. L.). Sears y Zemansky. Física universitaria con física moderna, vol. 1, 14.ª ed. Pearson Educación de México, 2018. ISBN 978-607-32-4439-8 (traducción de University Physics with Modern Physics, 14.ª ed., 2016). Cap. 9, "Rotación de cuerpos rígidos".
- Siegwart, R., Nourbakhsh, I. R. y Scaramuzza, D. Introduction to Autonomous Mobile Robots, 2.ª ed. The MIT Press, 2011. ISBN 978-0-262-01535-6. Cap. 3, "Mobile Robot Kinematics".