Tu rueda tarda en alcanzar su velocidad, y en una curva cerrada el robot derrapa hacia afuera a una rapidez que en recta no da ningún problema. Tu reto: en el panel de curva, baja el radio de 0.5 m a 0.25 m y anota qué le pasa a la aceleración centrípeta y a la rapidez máxima sin patinar.
01Explora
La rueda arranca desde el reposo con la aceleración angular que eliges. El panel muestra ω, la aceleración tangencial del borde y el tiempo que tarda en llegar a 200 rpm. El panel de curva calcula la aceleración centrípeta y la velocidad máxima sin patinar para el radio, la velocidad y el coeficiente de fricción que elijas.
Cambiael tiempo: reinicia y reproduce 0.5 s
Observala velocidad angular ω
¿Por qué llega a 20.9 rad/s?
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Con α constante desde el reposo, ω crece lo mismo en cada segundo: 41.89 rad/s² por 0.5 s son 20.94 rad/s, justo 200 rpm.
Cambiala aceleración angular α de 41.89 rad/s² a 83.78 rad/s²
Observala fila «Tiempo hasta 200 rpm»
¿Por qué se reduce a la mitad?
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El tiempo para ganar una Δω dada es Δω entre α. Con el mismo Δω de 20.94 rad/s y el doble de α, tarda la mitad: 0.25 s en lugar de 0.5 s.
Cambiaen el panel de curva, reproduce y reduce el «Radio de la curva» R de 0.5 m a 0.25 m, con la misma velocidad
Observala flecha de aceleración centrípeta de la vista de la curva y la fila «Aceleración centrípeta»
¿Por qué la flecha y la aceleración se duplican?
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Con v fija, la aceleración centrípeta es inversamente proporcional a R. La mitad de radio da el doble de aceleración: de 0.72 m/s² a 1.44 m/s². La flecha de la vista se dibuja proporcional a ella, así que su longitud también se duplica.
02Concepto
Viste que al doble de α la rueda llega a 200 rpm en la mitad de tiempo y que, al achicar la curva, la aceleración centrípeta crece. Cuando la velocidad angular cambia, la rueda tiene aceleración angular α: el cambio de velocidad angular entre el tiempo en que ocurre. Se mide en rad/s².
Es el paralelo exacto del movimiento uniformemente acelerado. Con α constante, la velocidad angular crece lo mismo en cada segundo, igual que la velocidad en Movimiento uniformemente acelerado.
Un punto del borde, a la distancia r del centro, acelera a lo largo de su trayectoria. Esa es la aceleración tangencial, α por r. Si la rueda no desliza, es también la aceleración con la que avanza el robot.
En una curva, aunque la rapidez sea constante, la velocidad cambia de dirección. Ese cambio es una aceleración que apunta hacia el centro de la curva: la aceleración centrípeta, con R el radio de giro. Crece con el cuadrado de la velocidad y es inversamente proporcional a R, como viste. Ojo: la ω de su segunda forma es la velocidad angular del robot alrededor del centro de la curva, no la ωrueda con la que giran sus ruedas.
Esa aceleración la provee la fricción entre las ruedas y el suelo. Con todo el peso sobre ruedas que agarran, la fricción estática tiene un máximo, μₛ por el peso; dividido entre la masa, la mayor aceleración centrípeta posible es μₛ por g. Igualándola con la centrípeta sale la rapidez máxima en curva sin patinar. Por encima de ella, el robot derrapa hacia fuera de la curva.
Si el robot lleva una rueda loca, esa rueda no aporta fuerza lateral. Como en Fricción, solo la fracción β del peso sobre las ruedas motrices da fricción, y el límite baja.
03Fórmulas
α· aceleración angular · rad/s²Δω· cambio de velocidad angular · rad/sΔt· intervalo de tiempo · s
ω· velocidad angular · rad/sω0· velocidad angular inicial · rad/sα· aceleración angular · rad/s²t· tiempo · s
at· aceleración tangencial · m/s²α· aceleración angular · rad/s²r· radio de rueda · m
ac· aceleración centrípeta · m/s²v· rapidez · m/sω· velocidad angular del robot en la curva (no la de sus ruedas) · rad/sR· radio de giro · m
vmax,curva· rapidez máxima en curva sin patinar, con todo el peso sobre ruedas que agarran · m/sμs· coeficiente de fricción estática · —g· aceleración gravitatoria · m/s²R· radio de giro · m
vmax,curva· rapidez máxima en curva sin patinar, solo con las ruedas motrices · m/sμs· coeficiente de fricción estática · —β· fracción del peso sobre las ruedas motrices · —g· aceleración gravitatoria · m/s²R· radio de giro · m
04Al robot
Tu robot no alcanza su velocidad de golpe. En Movimiento uniformemente acelerado viste como dato de tu perfil de «Mi robot» su rampa de arranque a, la que también usaron Leyes de Newton y diagrama de cuerpo libre y Fricción. Ahora sabes de dónde sale: el simulador acelera las ruedas con la aceleración angular α de tu perfil, su «Aceleración angular máxima», y sin deslizamiento el robot avanza con la aceleración tangencial del borde, a = at = α·r. Es una elección del simulador, no un límite del motor. Con el robot de referencia es 1.28 m/s², la rampa que ya tienes en «Mi robot».
La pista «Curvas cerradas» tiene curvas de R = 0.15 m. Con μₛ = 0.6 entre ruedas y suelo y la fracción β = 0.6 del peso sobre las ruedas motrices, las mismas constantes de Fricción, la rapidez máxima sin patinar en esas curvas es:
Ese límite no depende de tu motor ni de tus ruedas, solo de la fricción, del reparto del peso y del radio de la curva: cualquier perfil de «Mi robot» da el mismo número.
Compáralo con la velocidad lineal máxima de tu robot, la vmax que calculaste en Rodadura: de la rueda al robot. Si vmax es menor que vmax,curva, tu robot toma la curva a fondo sin patinar. Con el robot de referencia, vmax = 0.670 m/s queda por debajo de 0.728 m/s, con un margen del 9 %. Si tu robot supera vmax,curva, tiene que frenar antes de la curva, y la distancia que necesita la calculas como en el movimiento uniformemente acelerado.
05Verifica
E1 · obligatorio
La rueda de tu robot pasa del reposo a n = 99 rpm en t = 0.3 s con aceleración angular constante. ¿Cuál es su aceleración angular α, en rad/s²?
Responde con al menos tres cifras significativas.
E2 · obligatorio
Tu robot toma una curva de radio R = 0.26 m a v = 0.44 m/s. ¿Cuál es su aceleración centrípeta ac, en m/s²?
Responde con al menos tres cifras significativas.
E3 · obligatorio
La rueda de tu robot, de radio r = 0.039 m, acelera con α = 62.56 rad/s². ¿Cuál es la aceleración tangencial at de un punto del borde, en m/s²?
Responde con al menos tres cifras significativas.
E4
Un vehículo con todas sus ruedas motrices tiene un coeficiente de fricción estática μₛ = 0.28 con el suelo. ¿Cuál es su rapidez máxima sin patinar vmax,curva en una curva de radio R = 1.62 m, en m/s? Usa g = 9.81 m/s².
Responde con al menos tres cifras significativas.
E5
Tomas una curva con la misma rapidez, pero con la mitad de radio. ¿Qué pasa con la aceleración centrípeta?
06Profundiza
- Young, H. D., Freedman, R. A. (con Ford, A. L.). Sears y Zemansky. Física universitaria con física moderna, vol. 1, 14.ª ed. Pearson Educación de México, 2018. ISBN 978-607-32-4439-8 (traducción de University Physics with Modern Physics, 14.ª ed., 2016). Cap. 9, "Rotación de cuerpos rígidos".
- Young, H. D., Freedman, R. A. (con Ford, A. L.). Sears y Zemansky. Física universitaria con física moderna, vol. 1, 14.ª ed. Pearson Educación de México, 2018. ISBN 978-607-32-4439-8 (traducción de University Physics with Modern Physics, 14.ª ed., 2016). Cap. 5, "Aplicación de las leyes de Newton".
- Serway, R. A. y Jewett, J. W. Física para ciencias e ingeniería, vol. 1, 10.ª ed. Cengage, 2019. ISBN 978-607-526-669-5. Cap. 10, "Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo".