Las lecturas de posición de tu robot cada 0.1 s (0.00, 0.05, 0.12, 0.21 m) crecen cada vez más rápido, y ya no sabes qué velocidad lleva en cada instante. Tu reto: con el marcador de tiempo, encuentra en qué instante del movimiento del simulador el robot va exactamente a 1 m/s.
01Explora
Una partícula avanza en línea recta con x₀ = 0 m, v₀ = 0.5 m/s y a = 0.2 m/s² durante 5 s. Las gráficas x–t, v–t y a–t muestran el mismo movimiento con un marcador de tiempo común, y la tangente a x–t en ese instante.
Cambiael marcador de tiempo, arrastrándolo
Observala tangente en la gráfica x–t
¿Por qué la pendiente de la tangente coincide con el valor de v–t en ese instante?
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La pendiente de la tangente a x–t es la derivada dx/dt en ese instante. Esa derivada es la velocidad instantánea v, que es justo lo que pinta la gráfica v–t. Por eso los dos números son exactamente el mismo.
Cambiala aceleración a hasta 0
Observala gráfica x–t
¿Por qué x–t se vuelve una recta?
Ver la respuesta
Con a = 0 la velocidad no cambia y v–t es horizontal. Si v = dx/dt es constante, la pendiente de x–t es la misma en todos los instantes: una recta. Pendiente constante significa velocidad constante.
Cambiapon a negativa, por ejemplo −0.2 m/s², con v₀ = 0.5 m/s positiva
Observael instante en que v–t cruza cero
¿Por qué x alcanza un máximo justo en ese instante?
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Antes de ese instante v es positiva y x crece; después v es negativa y x decrece. Donde v = dx/dt vale cero, la tangente a x–t es horizontal. Ahí x deja de crecer y alcanza su máximo.
02Concepto
Viste que la tangente a x–t tiene la misma pendiente que el valor de v–t en ese instante. De ahí sale todo.
La velocidad media de tu robot en un intervalo es el desplazamiento dividido entre el tiempo que tarda en recorrerlo. No dice qué pasa dentro del intervalo: el robot puede ir más rápido al final que al principio.
En la gráfica x–t, la velocidad media es la pendiente de la recta que une los dos puntos del intervalo. Si reduces Δt, los dos puntos se acercan y esa recta se parece cada vez más a la tangente en un instante. El valor al que tiende el cociente cuando Δt tiende a cero es la derivada de x respecto a t, y es la velocidad instantánea: la pendiente de x–t en cada instante. Una velocidad constante es una recta en x–t.
La misma operación aplicada a la velocidad da la aceleración: la pendiente de v–t. Donde v–t cruza cero, la tangente a x–t es horizontal y x alcanza un máximo.
Para posiciones que son polinomios del tiempo basta una regla: la derivada de c·tⁿ baja el exponente en uno y lo multiplica por n. Derivar x = 0.2·t², con x en m y t en s, da una velocidad que crece de forma lineal con t y una aceleración constante.
El signo de v indica la dirección del movimiento: positivo si x crece, negativo si x decrece.
Con las lecturas del reto, cada tramo de 0.1 s avanza más que el anterior: el robot no va a velocidad constante, acelera.
03Fórmulas
v̄· velocidad media · m/sΔx· desplazamiento en un intervalo · mΔt· intervalo de tiempo · s
v· velocidad lineal · m/sx· posición · mt· tiempo · sa· aceleración · m/s²d/dt· derivada respecto al tiempo · la de la magnitud derivada entre s
c· coeficiente constante de c·tⁿ · la que da a c·tⁿ la unidad de la magnitud; en x = c·t², m/s²n· exponente de t en c·tⁿ · —t· tiempo · s
04Al robot
Tu robot no mide su velocidad de forma directa. El encoder de cada rueda cuenta fracciones de vuelta, y con esas cuentas el simulador calcula la posición del robot cada Δt. Cómo cuenta el encoder y cuánto vale cada fracción lo ves en Encoders, en la ruta Robot móvil; aquí solo importa que entrega posiciones cada Δt. La velocidad que el simulador te muestra es la derivada de esa posición, aproximada con dos lecturas consecutivas: el desplazamiento Δx entre ellas dividido entre Δt.
Es una velocidad media, la del último intervalo. Cuanto más corto es Δt, más se parece a la velocidad instantánea v = dx/dt.
Δx y Δt no son datos de tu perfil de «Mi robot», así que este cálculo usa las lecturas del reto. En el último tramo, entre dos lecturas separadas Δt = 0.1 s, la posición pasa de 0.12 m a 0.21 m: avanza Δx = 0.09 m.
La velocidad media de ese intervalo es 0.9 m/s, la del último tramo del reto: el simulador hace con las lecturas del encoder el mismo cálculo que tú hiciste con la tabla.
05Verifica
E1 · obligatorio
Entre dos lecturas, tu robot avanza Δx = 0.46 m en Δt = 1.6 s. ¿Cuál es su velocidad media, en m/s?
Responde con al menos tres cifras significativas.
E2 · obligatorio
La posición de tu robot sigue x(t) = c·t² con c = 0.1 m/s². ¿Cuál es su velocidad en t = 2.6 s, en m/s?
Responde con al menos tres cifras significativas.
E3 · obligatorio
La velocidad de tu robot pasa de v₁ = 0.42 m/s a v₂ = 0.6 m/s en Δt = 1.4 s. ¿Cuál es su aceleración media, en m/s²?
Responde con al menos tres cifras significativas.
E4
La posición de tu robot sigue x(t) = c₁·t + c₂·t² con c₁ = 0.02 m/s y c₂ = 0.08 m/s². ¿Cuál es su velocidad en t = 3 s, en m/s?
Responde con al menos tres cifras significativas.
E5
En la gráfica x–t, la tangente en un instante es horizontal. ¿Cuánto vale la velocidad en ese instante?
06Profundiza
- Young, H. D., Freedman, R. A. (con Ford, A. L.). Sears y Zemansky. Física universitaria con física moderna, vol. 1, 14.ª ed. Pearson Educación de México, 2018. ISBN 978-607-32-4439-8 (traducción de University Physics with Modern Physics, 14.ª ed., 2016). Cap. 2, "Movimiento rectilíneo".
- Serway, R. A. y Jewett, J. W. Física para ciencias e ingeniería, vol. 1, 10.ª ed. Cengage, 2019. ISBN 978-607-526-669-5. Cap. 2, "Movimiento en una dimensión".