01Gancho
Cada 0.1 s tu robot reporta su posición: 0.00, 0.05, 0.12, 0.21 m. ¿Va a velocidad constante? ¿Cuál es su velocidad en el último tramo?
02Concepto
La velocidad media de tu robot en un intervalo es el desplazamiento dividido entre el tiempo que tarda en recorrerlo: v̄ = Δx/Δt. Si en Δt = 0.1 s avanza Δx = 0.05 m, su velocidad media en ese tramo es 0.5 m/s. La velocidad media no dice qué pasa dentro del intervalo: el robot puede ir más rápido al final que al principio.
En la gráfica x–t, v̄ es la pendiente de la recta que une los dos puntos del intervalo. Si reduces Δt, los dos puntos se acercan y esa recta se parece cada vez más a la tangente a la curva en un instante. El valor al que tiende Δx/Δt cuando Δt tiende a cero es la derivada de x respecto a t. Ese valor es la velocidad instantánea: v = dx/dt, la pendiente de x–t en cada instante.
La misma operación aplicada a la velocidad da la aceleración: a = dv/dt, la pendiente de la gráfica v–t. La aceleración media en un intervalo es (v₂ − v₁)/Δt. Una velocidad constante es una recta en x–t.
Para posiciones que son polinomios del tiempo basta una regla: la derivada de c·tⁿ es c·n·tⁿ⁻¹. Si x = 0.2·t², con x en m y t en s, entonces v = 0.4·t, y en t = 2 s el robot va a 0.8 m/s. Derivar otra vez da a = 0.4 m/s², constante.
El signo de v indica la dirección del movimiento: positivo si x crece, negativo si x decrece.
Con la tabla del gancho, las velocidades medias de los tres tramos son 0.05/0.1 = 0.5 m/s, 0.07/0.1 = 0.7 m/s y 0.09/0.1 = 0.9 m/s. El robot no va a velocidad constante: cada tramo es más rápido que el anterior, así que acelera, y en el último tramo va a 0.9 m/s.
03Fórmulas
v̄· velocidad media · m/sΔx· desplazamiento en un intervalo · mΔt· intervalo de tiempo · s
v· velocidad lineal · m/sx· posición · mt· tiempo · sa· aceleración · m/s²d/dt· derivada respecto al tiempo · la de la magnitud derivada entre s
c· coeficiente constante de c·tⁿ · la que da a c·tⁿ la unidad de la magnitud; en x = c·t², m/s²n· exponente de t en c·tⁿ · —t· tiempo · s
04Explora
Una partícula avanza en línea recta con x₀ = 0 m, v₀ = 0.5 m/s y a = 0.2 m/s² durante 5 s. Las gráficas x–t, v–t y a–t muestran el mismo movimiento con un marcador de tiempo común, y la tangente a x–t en ese instante.
Cambiael marcador de tiempo, arrastrándoloObservala tangente en la gráfica x–t
¿Por qué la pendiente de la tangente coincide con el valor de v–t en ese instante?
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La pendiente de la tangente a x–t es la derivada dx/dt en ese instante. Esa derivada es la velocidad instantánea v, que es justo lo que pinta la gráfica v–t. Por eso los dos números son exactamente el mismo.
Cambiala aceleración a hasta 0Observala gráfica x–t
¿Por qué x–t se vuelve una recta?
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Con a = 0 la velocidad no cambia y v–t es horizontal. Si v = dx/dt es constante, la pendiente de x–t es la misma en todos los instantes: una recta. Pendiente constante significa velocidad constante.
Cambiapon a negativa, con v₀ positivaObservael instante en que v–t cruza cero
¿Por qué x alcanza un máximo justo en ese instante?
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Antes de ese instante v es positiva y x crece; después v es negativa y x decrece. Donde v = dx/dt vale cero, la tangente a x–t es horizontal. Ahí x deja de crecer y alcanza su máximo.
05Al robot
Tu robot no mide su velocidad de forma directa. El encoder de cada rueda cuenta fracciones de vuelta, y con esas cuentas el simulador calcula la posición del robot cada Δt. La velocidad que el simulador te muestra es la derivada de esa posición, aproximada con dos lecturas consecutivas: el desplazamiento Δx entre ellas dividido entre Δt.
Es una velocidad media, la del último intervalo. Cuanto más corto es Δt, más se parece a la velocidad instantánea v = dx/dt.
Δx y Δt no son datos de tu perfil de «Mi robot», así que este cálculo usa las lecturas del gancho. En el último tramo, entre dos lecturas separadas Δt = 0.1 s, la posición pasa de 0.12 m a 0.21 m: avanza Δx = 0.09 m.
La velocidad media de ese intervalo es 0.9 m/s, la del último tramo del gancho: el simulador hace con las lecturas del encoder el mismo cálculo que tú hiciste con la tabla.
06Verifica
E1Entre dos lecturas, tu robot avanza Δx = 0.4600 m en Δt = 1.600 s. ¿Cuál es su velocidad media, en m/s?obligatorio
E2La posición de tu robot sigue x(t) = c·t² con c = 0.1000 m/s². ¿Cuál es su velocidad en t = 2.600 s, en m/s?obligatorio
E3La velocidad de tu robot pasa de v₁ = 0.4200 m/s a v₂ = 0.6000 m/s en Δt = 1.400 s. ¿Cuál es su aceleración media, en m/s²?obligatorio
E4La posición de tu robot sigue x(t) = c₁·t + c₂·t² con c₁ = 0.02000 m/s y c₂ = 0.08000 m/s². ¿Cuál es su velocidad en t = 3 s, en m/s?
07Profundiza
- Young, H. D., Freedman, R. A. (con Ford, A. L.). Sears y Zemansky. Física universitaria con física moderna, vol. 1, 14.ª ed. Pearson Educación de México, 2018. ISBN 978-607-32-4439-8 (traducción de University Physics with Modern Physics, 14.ª ed., 2016). Cap. 2, "Movimiento rectilíneo".
- Serway, R. A. y Jewett, J. W. Física para ciencias e ingeniería, vol. 1, 10.ª ed. Cengage, 2019. ISBN 978-607-526-669-5. Cap. 2, "Movimiento en una dimensión".