01Gancho
Tu robot avanza a 0.5 m/s apuntando 30° respecto al eje x de la mesa. ¿Cuánto avanza en x y cuánto en y cada segundo?
02Concepto
Un vector es una magnitud con dirección. Se describe con dos datos: su magnitud (o módulo), que dice cuánto mide, y su dirección, el ángulo θ que forma con el eje x, medido en sentido antihorario.
El mismo vector se escribe también con sus componentes: cuánto mide a lo largo de x y cuánto a lo largo de y. Si una velocidad v⃗ tiene magnitud v y ángulo θ, sus componentes son vₓ = v cosθ y v_y = v sinθ. Con los números del gancho, vₓ = 0.5 · cos 30° = 0.433 m/s y v_y = 0.5 · sin 30° = 0.25 m/s: cada segundo tu robot avanza 0.433 m en x y 0.25 m en y.
El camino inverso recompone el vector. La magnitud sale del teorema de Pitágoras, |v⃗| = √(vₓ² + v_y²), y el ángulo, de θ = atan2(v_y, vₓ). No uses atan(v_y/vₓ): el cociente pierde los signos, y (0.3, 0.4) y (−0.3, −0.4) dan el mismo valor aunque apunten en sentidos opuestos. atan2 recibe las dos componentes por separado, mira sus signos y devuelve el ángulo en el cuadrante correcto, entre −180° y 180°.
Para sumar dos vectores se suman sus componentes: a⃗ + b⃗ = (a_x + b_x, a_y + b_y). Las magnitudes no se suman: dos desplazamientos de 1 m en sentidos opuestos dan un desplazamiento total de 0 m.
El producto escalar combina dos vectores en un número: a⃗ · b⃗ = a_x·b_x + a_y·b_y. También vale |a⃗||b⃗| cos φ, con φ el ángulo entre ellos, así que igualando las dos formas se despeja φ. Si el producto escalar es cero, los vectores son perpendiculares; si es negativo, forman más de 90°.
La velocidad de tu robot es un vector. Su magnitud es la rapidez, en m/s; su dirección es el rumbo θ. Solo con las dos sabes hacia dónde va y qué tan rápido.
03Fórmulas
vₓ, v_y· componentes de velocidad · m/sv· rapidez · m/sθ· ángulo respecto al eje x · rad
|v⃗|· magnitud de la velocidad como vector · m/svₓ, v_y· componentes de velocidad · m/s
θ· ángulo respecto al eje x · radvₓ, v_y· componentes de velocidad · m/s
a⃗, b⃗· vector genérico · la de la magnitud que representaa_x, a_y, b_x, b_y· componentes de a⃗ y de b⃗ · la de la magnitud que representa
a⃗ · b⃗· producto escalar · producto de las unidades de a⃗ y b⃗|a⃗|, |b⃗|· magnitudes de a⃗ y de b⃗ · la de la magnitud que representanφ· ángulo entre dos vectores · rad El ángulo se da en grados; 180° = π rad. Pon la calculadora en grados.
04Explora
Dos vectores de velocidad, a y b, salen del origen y se arrastran por la punta. El panel muestra las componentes y el ángulo de cada uno, su suma y su producto escalar. a empieza como la velocidad del gancho: 0.5 m/s a 30°.
Cambiala punta de a, arrastrándola sin cambiar su longitudObservalas componentes de a
¿Por qué una componente crece mientras la otra decrece?
Ver la respuesta
La longitud fija la magnitud, y |a⃗|² = a_x² + a_y² no cambia. Si una componente crece, la otra tiene que decrecer para que la suma de sus cuadrados siga igual. Solo cambia el ángulo, que reparte la magnitud entre x e y.
Cambiab, hasta que apunte en sentido opuesto a aObservala suma a + b
¿Por qué la suma se acerca a cero?
Ver la respuesta
Las componentes de b tienen signo contrario a las de a, y al sumarlas componente a componente se cancelan. Si además b mide lo mismo que a, la suma es exactamente el vector cero.
Cambiab, hasta que quede perpendicular a aObservael producto escalar a · b
¿Por qué vale cero?
Ver la respuesta
a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos φ, y con φ = 90° el coseno es cero. Da igual cuánto midan los dos vectores: el producto escalar es cero siempre que sean perpendiculares.
05Al robot
En Unidades y magnitudes calculaste la velocidad de giro de la rueda con el motor sin carga. Es ω_max, la velocidad angular máxima de la rueda. Este tema no pide ningún dato nuevo de «Mi robot»: con ω_max y el radio r de la rueda sale v_max, la velocidad lineal máxima de tu robot.
v_max es una rapidez: dice qué tan rápido puede ir tu robot, pero no hacia dónde. Para tener el vector velocidad falta el rumbo. Si tu robot avanza a v_max con un rumbo θ = 30° respecto al eje x de la mesa, como en el gancho, sus componentes son:
Con el robot de referencia, ω_max = 20.94 rad/s y r = 0.032 m dan v_max = 0.670 m/s. A 30°, cada segundo avanza 0.580 m en x y 0.335 m en y. Si cambias el motor, la reducción o el radio de la rueda en tu perfil, las tres fórmulas se recalculan con tus datos.
Comprueba la recomposición: √(0.580² + 0.335²) = 0.670 m/s. Las componentes reparten la rapidez entre los dos ejes, pero no la aumentan: ningún rumbo hace que tu robot vaya más rápido que v_max.
06Verifica
E1Tu robot avanza a v = 0.6700 m/s con un rumbo θ = 73.00° respecto al eje x. ¿Cuáles son sus componentes vₓ y v_y, en m/s?obligatorio
E2La velocidad de tu robot es el vector (0.7500, 0.8100) m/s. ¿Cuál es su magnitud, en m/s, y su ángulo respecto al eje x, en grados entre −180° y 180°?obligatorio
E3Tu robot hace dos desplazamientos seguidos: a⃗ = (0.6900, 1.730) m y b⃗ = (−1.590, 1.110) m. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento total a⃗ + b⃗, en m?obligatorio
E4¿Qué ángulo φ forman los vectores (0.3, 0.4) y (0.5, 0)? Responde en grados.
07Profundiza
- Young, H. D., Freedman, R. A. (con Ford, A. L.). Sears y Zemansky. Física universitaria con física moderna, vol. 1, 14.ª ed. Pearson Educación de México, 2018. ISBN 978-607-32-4439-8 (traducción de University Physics with Modern Physics, 14.ª ed., 2016). Cap. 1, "Unidades, cantidades físicas y vectores".