Tu robot avanza a 0.5 m/s apuntando 30° respecto al eje x de la mesa, pero tu programa necesita cuánto se desplaza en x y cuánto en y. Tu reto: haz que vaya justo en la dirección de y, sin cambiar su rapidez, y mira qué le pasa a cada componente.
01Explora
Dos vectores de velocidad, a y b, salen del origen y se arrastran por la punta. El panel muestra las componentes y el ángulo de cada uno, su suma y su producto escalar. a empieza como la velocidad del reto: 0.5 m/s a 30°.
Cambiala punta de a, arrastrándola sin cambiar su longitud
Observalas componentes de a
¿Por qué una componente crece mientras la otra decrece?
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La longitud fija el módulo, y |a|² = ax² + ay² no cambia. Si una componente crece, la otra tiene que decrecer para que la suma de sus cuadrados siga igual. Solo cambia el ángulo, que reparte el módulo entre x e y.
Cambiab, hasta que apunte en sentido opuesto a a
Observala suma a + b
¿Por qué la suma se acerca a cero?
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Las componentes de b tienen signo contrario a las de a, y al sumarlas componente a componente se cancelan. Si además b mide lo mismo que a, la suma es exactamente el vector cero.
Cambiab, hasta que quede perpendicular a a
Observael producto escalar a · b
¿Por qué vale cero?
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a · b = |a||b| cos φ, y con φ = 90° el coseno es cero. Da igual cuánto midan los dos vectores: el producto escalar es cero siempre que sean perpendiculares.
02Concepto
Viste que al arrastrar la punta de a cambian las componentes, pero no su longitud. Un vector es una magnitud con dirección: su módulo dice cuánto mide y su dirección es el ángulo θ que forma con el eje x, antihorario.
El mismo vector se escribe con sus componentes, cuánto mide en x y en y. Si una velocidad tiene módulo v y ángulo θ, cada componente sale de v por el coseno o el seno de θ. Como el módulo no cambia, una componente crece cuando la otra decrece: lo único que se mueve es el reparto entre los dos ejes.
Para recomponerlo, el módulo sale de Pitágoras y el ángulo, de atan2 con las dos componentes. No uses la arcotangente de un solo cociente: pierde los signos y confunde (0.3, 0.4) con (−0.3, −0.4). atan2 devuelve el ángulo en el cuadrante correcto.
Para sumar dos vectores se suman sus componentes; los módulos no se suman. Por eso, cuando b apunta contra a, las componentes se cancelan y la suma se acerca a cero.
El producto escalar combina dos vectores en un número. Se calcula con las componentes o con los módulos y el coseno del ángulo φ entre ellos; igualando las dos formas se despeja φ. Si vale cero, los vectores son perpendiculares, como viste con el coseno de 90°.
Girar un vector un ángulo θ en sentido antihorario, sin cambiar su módulo, da un vector nuevo cuyas componentes mezclan las dos del original con el seno y el coseno de θ. Pose y marcos de referencia, en la ruta Robot móvil, usa esta rotación para pasar un punto del marco del robot al de la mesa.
La velocidad de tu robot es un vector: su módulo es la rapidez, en m/s, y su dirección, el rumbo θ.
03Fórmulas
vx, vy· componentes de velocidad · m/sv· rapidez · m/sθ· ángulo respecto al eje x · rad
|v|· módulo de la velocidad como vector · m/svx, vy· componentes de velocidad · m/s
θ· ángulo respecto al eje x · radvx, vy· componentes de velocidad · m/s
a, b· vector genérico · la de la magnitud que representaax, ay, bx, by· componentes de a y de b · la de la magnitud que representa
a · b· producto escalar · producto de las unidades de a y b|a|, |b|· módulos de a y de b · la de la magnitud que representanφ· ángulo entre dos vectores · rad
a′· el vector a girado un ángulo θ en sentido antihorario · la de aa′x, a′y· componentes de a′ · la de aax, ay· componentes de a · la de aθ· ángulo de giro, antihorario positivo · rad
Los ángulos se dan en grados; 180° = π rad. Pon la calculadora en grados.
04Al robot
Este tema no pide ningún dato nuevo de «Mi robot». Toma como dato de tu perfil vmax, la velocidad lineal máxima que alcanza tu robot con el motor sin carga; de dónde sale: Rodadura: de la rueda al robot.
vmax es una rapidez: dice qué tan rápido puede ir tu robot, pero no hacia dónde. Para tener el vector velocidad falta el rumbo. Si tu robot avanza a vmax con un rumbo θ = 30° respecto al eje x de la mesa, sus componentes son:
Con el robot de referencia, vmax = 0.670 m/s. A 30°, cada segundo avanza 0.580 m en x y 0.335 m en y. Si tu perfil tiene otra vmax, las dos fórmulas se recalculan con tu dato.
Comprueba la recomposición: el módulo de esas dos componentes vuelve a dar 0.670 m/s. Las componentes reparten la rapidez entre los dos ejes, pero no la aumentan: ningún rumbo hace que tu robot vaya más rápido que vmax. Y girar 30° el vector (0.670, 0) m/s da esas mismas componentes: girarlo y descomponerlo a 30° es el mismo cálculo.
05Verifica
E1 · obligatorio
Tu robot avanza a v = 0.67 m/s con un rumbo θ = 73° respecto al eje x. ¿Cuáles son sus componentes vₓ y vy, en m/s?
Responde con al menos tres cifras significativas.
E2 · obligatorio
La velocidad de tu robot es el vector (0.75, 0.81) m/s. ¿Cuál es su módulo, en m/s, y su ángulo respecto al eje x, en grados entre −180° y 180°?
Responde con al menos tres cifras significativas.
E3 · obligatorio
Tu robot hace dos desplazamientos seguidos: a = (0.69, 1.73) m y b = (−1.59, 1.11) m. ¿Cuál es el módulo del desplazamiento total a + b, en m?
Responde con al menos tres cifras significativas.
E4
¿Qué ángulo φ forman los vectores (0.3, 0.4) y (0.5, 0)? Responde en grados.
Responde con al menos tres cifras significativas.
E5
En el widget arrastras la punta de un vector sin cambiar su longitud, de 30° a 60°. ¿Qué pasa con su módulo y sus componentes?
06Profundiza
- Young, H. D., Freedman, R. A. (con Ford, A. L.). Sears y Zemansky. Física universitaria con física moderna, vol. 1, 14.ª ed. Pearson Educación de México, 2018. ISBN 978-607-32-4439-8 (traducción de University Physics with Modern Physics, 14.ª ed., 2016). Cap. 1, "Unidades, cantidades físicas y vectores".